lunes, 18 de febrero de 2013

Eventos Aleatorios y Espacio Muestral


La probabilidad es la ciencia que trata de cuantificar los posibles resultados de un experimento en el cual está presente la incertidumbre o la aleatoriedad. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Un experimento es un proceso que se observa con el fin de establecer una relación entre condiciones en que se realizan y los resultados que se obtienen. Se clasifican en:


Un experimento determinístico es aquel que al ser realizado con las mismas condiciones iniciales produce los mismos resultados.

Ejemplo: Una operación de adición.



Un experimento aleatorio es aquel que puede producir resultados diferentes, aun cuando se repita siempre de la misma manera.
Ejemplo: El lanzamiento de un dado.



Ejemplo: El lanzamiento de una moneda.





Espacio muestral

se le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. El espacio muestral se denota como S.

Ejemplo: Los resultados posibles del lanzamiento de un dado.

               S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ejemplo: Los resultados posibles del lanzamiento de una moneda.

               S = {Sello, Águila}


Los espacios muestrales se clasifican en:
  • Espacio muestral discreto, son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer conteos, siendo por lo general subconjuntos de los números enteros.
  • Espacio muestral continuo, son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones, siendo por lo general intervalos en el conjunto de los números reales.


Evento  

Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Los eventos normalmente se denotan con las letras mayúsculas A, B, C; y tienen la característica de ser subconjuntos de S ((A, B, C) Ì S). Los eventos pueden ser:
  • Evento seguro, es aquel que tiene todos los posibles resultados. S = A  Þ #S = #A. Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.  
  • Evento imposible, es aquel que no tiene un posible resultado. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
  • Eventos compatibles, dos eventos, A y B, son compatibles cuando tienen algún eventos elemental común. Ejemplo si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un evento elemental común.
  • Evento incompatibles, dos eventos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Ejemplo si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.
  • Eventos independientes, dos eventos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo al lazar dos dados los resultados son independientes.
  • Eventos dependientes, dos eventos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son eventos dependientes.
  • Evento contrario, el evento contrario a A es otro evento que se realiza cuando no se realiza A. Ejemplo son eventos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Se clasifican en:
  • Evento simple, siendo aquel que tiene un solo punto muestral.
  • Evento compuesto, siendo aquel que tiene dos o más puntos muestrales.

Donde el punto muestral es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Representándose al número de puntos muestrales por #S.

Ejemplo: El lanzamiento de una moneda.

               Experimento aleatorio:

                      Lanzar una moneda tres veces.

               Espacio muestral:

                      S = {(S,S,S),(S,S,A),(S,A,S),(A,S,S),(A,A,S),(A,S,A),(S,A,A),(A,A,A)}

                      #S = 8

                      S es el evento seguro.

               Evento simple:

                       A: que salgan tres sellos.

                       A = {(S,S,S)}

                       #A = 1

              
 Evento compuesto:

                       B: Que salgan al menos dos sellos.

                       B = {(S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S)}

                       #B = 4

Ante estos conceptos es posible llegar a pensar que un evento y un punto muestral son lo mismo, pero realmente no lo son. Un ejemplo claro se puede observar en el lanzamiento del dado, un evento sería por ejemplo que salga número par, para lo cual servirían los puntos muestrales {2} {4} {6}. De ahí las diferencias entre unos y otros.



Operaciones básicas con eventos aleatorios
Ya que los eventos son subconjuntos del espacio muestral S, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

Operación
Expresión  
Descripción
Unión
     A È B
Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden
Intersección
     A Ç B
Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente.
Complemento
AÌ = S - A
El complemento de un conjunto son todos aquellos elementos de S que no pertenecen al conjunto A.
Diferencia
      A - B
La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.


Unión (A È B)

El evento formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. La probabilidad de la unión de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos eventos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección.

Ejemplo: Al lanzar un dado al aire y analizar los siguientes dos eventos.
                Evento A: que salga número par.
                Evento B: que salga número impar.
                         La unión se forma por los puntos muestrales {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}.

                         Cuya probabilidad es

                         P(A) = 3 / 6 = 0.50

                         P(B) = 3 / 6 = 0.50

                         P (A Ç B) = 0 / 6 = 0.00

                         Por lo tanto (A È B) = (0.50 + 0.50) – 0.00 = 1.00


Intersección (A Ç B)
Es el evento formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B. Es aquel evento compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.
Ejemplo: Al lanzar un dado al aire y analizar los siguientes dos eventos.
                    Evento A: que salga número par.
                    Evento B: que sea mayor que 3.

                           La intersección de estos dos eventos tiene los puntos muestrales {4} y {6}.

                           Su probabilidad será por tanto P(A Ç B) = 2 / 6 = 0.33



Complemento (AÌ)
La probabilidad de un suceso complementario (A) es igual a 1 - P(A).

Ejemplo: Si se lanza un dado al aire y se analiza el evento que salga un número impar su complementario, suceso (AÌ), es que obtengamos un número par.

                    De esta manera, la probabilidad de cada suceso es:

                     P(A) = 3 / 6 = 0.50

                     AÌ= 1 - P(A) = 1 – 0.50 = 0.50

                     La unión de dos eventos complementarios es igual a 1.



Diferencia (A - B)
La diferencia de eventos, A − B, es el evento formado por todos los puntos muestrales de A que no son de B.

Ejemplo: Al lanzar un dado al aire y analizar los siguientes dos eventos.
               Evento A: que salga número par.
               Evento B: que sea múltiplo de 3.
                         A = {2, 4, 6}

                         B = {3, 6}

                         A − B = {2, 4}




Animación de operaciones con conjuntos
Para una mejor comprensión de las operaciones con conjuntos, presione aquí.


Ejercicios
Cálculo de Probabilidades





1 comentario:

  1. Creo que los ejemplos son perfectamente comprensibles, ya que las ilustraciones ayudan en demacia a la comprension de las mismas, por otro lado el simulador de operaciones hace de la misma forma muy sencillo de interpretar los resultados delas mismas.

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