lunes, 18 de febrero de 2013

Eventos Aleatorios y Espacio Muestral


La probabilidad es la ciencia que trata de cuantificar los posibles resultados de un experimento en el cual está presente la incertidumbre o la aleatoriedad. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Un experimento es un proceso que se observa con el fin de establecer una relación entre condiciones en que se realizan y los resultados que se obtienen. Se clasifican en:


Un experimento determinístico es aquel que al ser realizado con las mismas condiciones iniciales produce los mismos resultados.

Ejemplo: Una operación de adición.



Un experimento aleatorio es aquel que puede producir resultados diferentes, aun cuando se repita siempre de la misma manera.
Ejemplo: El lanzamiento de un dado.



Ejemplo: El lanzamiento de una moneda.





Espacio muestral

se le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. El espacio muestral se denota como S.

Ejemplo: Los resultados posibles del lanzamiento de un dado.

               S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ejemplo: Los resultados posibles del lanzamiento de una moneda.

               S = {Sello, Águila}


Los espacios muestrales se clasifican en:
  • Espacio muestral discreto, son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer conteos, siendo por lo general subconjuntos de los números enteros.
  • Espacio muestral continuo, son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones, siendo por lo general intervalos en el conjunto de los números reales.


Evento  

Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Los eventos normalmente se denotan con las letras mayúsculas A, B, C; y tienen la característica de ser subconjuntos de S ((A, B, C) Ì S). Los eventos pueden ser:
  • Evento seguro, es aquel que tiene todos los posibles resultados. S = A  Þ #S = #A. Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.  
  • Evento imposible, es aquel que no tiene un posible resultado. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
  • Eventos compatibles, dos eventos, A y B, son compatibles cuando tienen algún eventos elemental común. Ejemplo si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un evento elemental común.
  • Evento incompatibles, dos eventos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Ejemplo si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.
  • Eventos independientes, dos eventos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo al lazar dos dados los resultados son independientes.
  • Eventos dependientes, dos eventos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son eventos dependientes.
  • Evento contrario, el evento contrario a A es otro evento que se realiza cuando no se realiza A. Ejemplo son eventos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Se clasifican en:
  • Evento simple, siendo aquel que tiene un solo punto muestral.
  • Evento compuesto, siendo aquel que tiene dos o más puntos muestrales.

Donde el punto muestral es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Representándose al número de puntos muestrales por #S.

Ejemplo: El lanzamiento de una moneda.

               Experimento aleatorio:

                      Lanzar una moneda tres veces.

               Espacio muestral:

                      S = {(S,S,S),(S,S,A),(S,A,S),(A,S,S),(A,A,S),(A,S,A),(S,A,A),(A,A,A)}

                      #S = 8

                      S es el evento seguro.

               Evento simple:

                       A: que salgan tres sellos.

                       A = {(S,S,S)}

                       #A = 1

              
 Evento compuesto:

                       B: Que salgan al menos dos sellos.

                       B = {(S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S)}

                       #B = 4

Ante estos conceptos es posible llegar a pensar que un evento y un punto muestral son lo mismo, pero realmente no lo son. Un ejemplo claro se puede observar en el lanzamiento del dado, un evento sería por ejemplo que salga número par, para lo cual servirían los puntos muestrales {2} {4} {6}. De ahí las diferencias entre unos y otros.



Operaciones básicas con eventos aleatorios
Ya que los eventos son subconjuntos del espacio muestral S, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

Operación
Expresión  
Descripción
Unión
     A È B
Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden
Intersección
     A Ç B
Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente.
Complemento
AÌ = S - A
El complemento de un conjunto son todos aquellos elementos de S que no pertenecen al conjunto A.
Diferencia
      A - B
La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.


Unión (A È B)

El evento formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. La probabilidad de la unión de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos eventos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección.

Ejemplo: Al lanzar un dado al aire y analizar los siguientes dos eventos.
                Evento A: que salga número par.
                Evento B: que salga número impar.
                         La unión se forma por los puntos muestrales {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}.

                         Cuya probabilidad es

                         P(A) = 3 / 6 = 0.50

                         P(B) = 3 / 6 = 0.50

                         P (A Ç B) = 0 / 6 = 0.00

                         Por lo tanto (A È B) = (0.50 + 0.50) – 0.00 = 1.00


Intersección (A Ç B)
Es el evento formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B. Es aquel evento compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.
Ejemplo: Al lanzar un dado al aire y analizar los siguientes dos eventos.
                    Evento A: que salga número par.
                    Evento B: que sea mayor que 3.

                           La intersección de estos dos eventos tiene los puntos muestrales {4} y {6}.

                           Su probabilidad será por tanto P(A Ç B) = 2 / 6 = 0.33



Complemento (AÌ)
La probabilidad de un suceso complementario (A) es igual a 1 - P(A).

Ejemplo: Si se lanza un dado al aire y se analiza el evento que salga un número impar su complementario, suceso (AÌ), es que obtengamos un número par.

                    De esta manera, la probabilidad de cada suceso es:

                     P(A) = 3 / 6 = 0.50

                     AÌ= 1 - P(A) = 1 – 0.50 = 0.50

                     La unión de dos eventos complementarios es igual a 1.



Diferencia (A - B)
La diferencia de eventos, A − B, es el evento formado por todos los puntos muestrales de A que no son de B.

Ejemplo: Al lanzar un dado al aire y analizar los siguientes dos eventos.
               Evento A: que salga número par.
               Evento B: que sea múltiplo de 3.
                         A = {2, 4, 6}

                         B = {3, 6}

                         A − B = {2, 4}




Animación de operaciones con conjuntos
Para una mejor comprensión de las operaciones con conjuntos, presione aquí.


Ejercicios
Cálculo de Probabilidades





miércoles, 6 de febrero de 2013

Manual de Herramientas Estadística


Jóvenes,

Les pongo a su disposición el Manual de Herramientas Estadísticas, el cual tiene la intención de servir de guía para el uso del software Minitab 16.
 

jueves, 17 de enero de 2013

Diagrama de Tallo y Hoja


El diagrama de tallo y hoja es una herramienta que permite obtener una representación visual informativa de un conjunto de datos, para su elaboración es necesario separar para cada uno de los datos el último dígito de la derecha (hoja) del bloque de cifras restantes (tallo).


Los pasos para construir el diagrama son:
Paso # 0: Paso opcional, ordenar de forma ascendente (de menor a mayor) los datos. Este paso permite obtener una representación ordenada del diagrama de tallo y hoja.
Paso # 1: Seleccionar el último dígito de la derecha para el valor de la hoja, siendo los dígitos iniciales los valores del tallo. Para números mayores de cuatro dígitos es posible utilizar valores de hojas de más de un dígito.
Paso # 2: Hacer una lista de los valores de los tallos en una columna, ordenados de forma ascendente (de menor a mayor).
Paso # 3: Registrar las hojas por cada observación junto al valor correspondiente del tallo.

También es posible agregar una columna de datos adicionales con información complementaria como lo son la frecuencia relativa, la frecuencia acumulada, un indicador del tallo que incluya la mediana...
El número de tallos puede variar de un diagrama a otro, sin embargo es recomendable que este número oscile entre 5 y 20 tallos ya que esto nos facilitará y permitirá:

1.      Identificar el valor característico de la distribución de los datos.
2.      Identificar la forma general de la distribución de los datos.
3.      La dispersión de los datos.
Sin embargo lo anterior no será posible si la dispersión de los datos es muy grande.

Ejemplo:
La tabla siguiente muestra la resistencia a la compresión  de 80 ejemplares de prueba de una aleación aluminio-litio:

105
221
183
186
121
181
180
143
97
154
153
174
120
168
167
141
245
228
174
199
181
158
176
110
163
131
154
115
160
208
158
133
207
180
190
193
194
133
156
123
134
178
76
167
184
135
229
146
218
157
101
171
165
172
158
169
199
151
142
163
145
171
148
158
160
175
149
87
160
237
150
135
196
201
200
176
150
170
118
149

Paso # 0: Primeramente se ordenan los datos de forma ascendente, lo cual facilitará el manejo de la información, recordando que este paso permitirá tener una representación ordenada del diagrama de tallo y hoja (paso opcional).

76
123
145
154
163
172
181
200
87
131
146
156
163
174
183
201
97
133
148
157
165
174
184
207
101
133
149
158
167
175
186
208
105
134
149
158
167
176
190
218
110
135
150
158
168
176
193
221
115
135
150
158
169
178
194
228
118
141
151
160
170
180
196
229
120
142
153
160
171
180
199
237
121
143
154
160
171
181
199
245

Paso # 1: Se separa el último dígito de cada celda para identificar los tallos y las hojas.

7   6
12   3
14   5
15   4
16   3
17   2
18   1
20   0
8   7
13   1
14   6
15   6
16   3
17   4
18   3
20   1
9   7
13   3
14   8
15   7
16   5
17   4
18   4
20   7
10   1
13   3
14   9
15   8
16   7
17   5
18   6
20   8
10   5
13   4
14   9
15   8
16   7
17   6
19   0
21   8
11   0
13   5
15   0
15   8
16   8
17   6
19   3
22   1
11   5
13   5
15   0
15   8
16   9
17   8
19   4
22   8
11   8
14   1
15   1
16   0
17   0
18   0
19   6
22   9
12   0
14   2
15   3
16   0
17   1
18   0
19   9
23   7
12   1
14   3
15   4
16   0
17   1
18   1
19   9
24   5

Paso # 2 y Paso 3: Hacer una lista de los valores de tallos en una columna y registrar las hojas por cada observación junto al valor correspondiente del tallo. Si se desea puede agregar una columna adicional que indique la frecuencia.

Tallo
Hoja
Frecuencia
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
6
7
7
1   5
0   5   8
0   1   3
1   3   3   4   5   5
1   2   3   5   6   8   9   9
0   0   1   3   4   4   6   7   8   8   8   8
0   0   0   3   3   5   7   7   8   9
0   1   1   2   4   4   5   6   6   8
0   0   1   1   3   4   6
0   3   4   6   9   0
0   1   7   8
8
1   8   9
7
5
1
1
1
2
3
3
6
8
12
10
10
7
6
4
1
3
1
1

Con lo cual queda terminado el diagrama de tallo y hoja.


Ejercicios:
Diagrama de Tallo y Hoja